Question

【題目】在區間[﹣1，1]上任取兩個數a，b，在下列條件時，分別求不等式x2+2ax+b2≥0恒成立時的概率：
（1）當a，b均為整數時；
（2）當a，b均為實數時．

Answer 1

【答案】
（1）解：設事件A為“x2+2ax+b2≥0恒成立”．

x2+2ax+b2≥0恒成立的充要條件為4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2

基本事件共9個：（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）．其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．

事件A中包含7個基本事件：（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（（1，1）．

事件A發生的概率為P（A）=

（2）解：設事件A為“x2+2ax+b2≥0恒成立”．

x2+2ax+b2≥0恒成立的充要條件為4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2

試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1}．

構成事件A的區域為{（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，a2≤b2}．

如圖，

∴當a，b均為實數時，不等式x2+2ax+b2≥0恒成立的概率為

【解析】（1）x2+2ax+b2≥0恒成立的充要條件為4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2 ， 用列舉法求出基本事件數，然后直接利用古典概型概率計算公式求解；（2）由題意求出點（a，b）所構成的正方形的面積，再由線性規劃知識求出滿足a2≤b2的區域面積，由測度比是面積比求概率．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解幾何概型的相關知識，掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．