Question

【題目】先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：

已知，，求證：.

證明：構造函數，

即

.

因為對一切，恒有，

所以，從而得.

（1）若，，請寫出上述結論的推廣式；

（2）參考上述證法，對你推廣的結論加以證明.

Answer 1

【答案】（1）若，，…，，則；（2）略.

【解析】

試題（1）根據題干中的式子，類比寫出求證： ；（2）構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，展開后是關于x的二次函數，函數大于等于0恒成立，即判別式小于等于0，從而得證.

解析：

(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.

求證： .

(2)證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋＝nx2－2x＋,

因為對一切x∈R，都有f(x)≥0，

所以Δ＝4－4n()≤0，

從而證得≥..