【題目】如圖，在四棱柱
中， 
平面
,底面
為梯形， 
, 
， 
，點
， 
分別為
， 
的中點.
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使
與平面
所成角的正弦值是
，若存在，求
的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】試題分析：（Ⅰ）連接
，證明四邊形
是平行四邊形. 得到
，即可證明
平面
（Ⅱ）以
為坐標原點，分別以直線
， 
為
軸， 
軸建立空間直角坐標系
，分別求出面
的法向量
和面
的法向量
，即可求出二面角
的余弦值；
（Ⅲ）存設點
，所以
設
與平面
所成角為
，所以
所以
，即可求出
的長
試題解析：（Ⅰ）連接
，因為點
， 
分別為
， 
的中點，
所以
， 
.
所以四邊形
是平行四邊形.
所以
因為
平面
， 
平面
，
所以
平面
（Ⅱ）因為
平面
, 
，
所以
平面
.
所以以
為坐標原點，分別以直線
， 
為
軸， 
軸建立空間直角坐標系
，則
軸在平面
內．
所以
， 
， 
， 
，
所以
， 
.
設平面
的法向量為
，所以
即
所以
.
設平面
的法向量為
，
所以
又二面角
為銳角，
所以二面角
的余弦值是
（Ⅲ）存在. 設點
，所以
設
與平面
所成角為
，所以
所以
，解得
所以
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：
甲公司送餐員送餐單數頻數表
送餐單數 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數 | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
乙公司送餐員送餐單數頻數表
送餐單數 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數 | 5 | 10 | 10 | 20 | 5 |
（1）現從甲公司記錄的50天中隨機抽取3天，求這3天送餐單數都不小于40的概率；
（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：
①記乙公司送餐員日工資為
（單位：元），求
的分布列和數學期望；
②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為小王作出選擇，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖，在平面直角坐標系
中，直線
與直線
之間的陰影部分即為
，區域
中動點
到
的距離之積為1．
（Ⅰ）求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）動直線
穿過區域
，分別交直線
于
兩點，若直線
與軌跡
有且只有一個公共點，求證： 
的面積恒為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】長方形
中， 
， 
是
中點（圖1）．將△
沿
折起，使得
（圖2）在圖2中：
（1）求證：平面
平面
；
（2）在線段
上是否存點
，使得二面角
為大小為
，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p＞0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H.
(1)求
；
(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點
與短軸兩個端點的連線互相垂直.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設點
為橢圓
的上一點，過原點
且垂直于
的直線與直線
交于點
，求
面積
的最小值.
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