Question

【題目】四棱錐中，底面為矩形， .側(cè)面底面.

（1）證明： ；

（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】【試題分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，由已知，所以，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，有平面，以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得證.（2）設(shè)，利用直線和平面所成角為，計(jì)算，再利用平面和平面的法向量計(jì)算二面角的余弦值.

【試題解析】

解：（1）證法一：設(shè)中點(diǎn)為，連接，

由已知，所以，

而平面平面，交線為

故平面

以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，

則

所以

，所以.

證法二：設(shè)中點(diǎn)為，連接，由已知，所以，

而平面平面，交線為

故平面，從而 ①

在矩形中，連接，設(shè)與交于，

則由知，所以

所以，故 ②

由①②知平面

所以.

（2）由，平面平面，交線為，可得平面，

所以平面平面，交線為

過(guò)作，垂足為，則平面

與平面所成的角即為角

所以

從而三角形為等邊三角形，

（也可以用向量法求出，設(shè)，則，可求得平面的一個(gè)法向量為，而，由可解得）

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

， 可取

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

，可取

于是，

故二面角的余弦值為.