Question

【題目】函數.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求單調遞減區間和極值（其中為自然對數的底數）；

（Ⅱ）若對任意，恒成立.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調遞減區間為，極小值為2，無極大值.（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）先利用導數的幾何意義求出k的值，然后利用導數求該函數單調區間及其極值；
（Ⅱ）由題意可知，函數f（x）-x在（0，+∞）上遞增，即該函數的導數大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后轉化為導函數的最值問題來解．

詳解：

（Ⅰ）由，知，.

因為曲線在點處的切線與直線垂直，

所以，即，得.

所以.

當時，，在單調遞減；

當時，，在單調遞增.

所以當時，有極小值，且極小值為.

綜上，的單調遞減區間為，極小值為2，無極大值.

（Ⅱ）因為對任意，恒成立

所以對任意恒成立，

令，

則在單調遞減，

所以在恒成立，

所以恒成立.

令，則.

所以的取值范圍是.