Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， A為橢圓E的右頂點，B，C分別為橢圓E的上、下頂點．線段CF2的延長線與線段AB交于點M，與橢圓E交于點P．
（1）若橢圓的離心率為 ，△PF1C的面積為12，求橢圓E的方程；
（2）設S =λS ，求實數λ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓的離心率e= = ，則a= c，b2=a2﹣c2=c2，

∴△F1CF2是等腰直角三角形，丨PF1丨+丨PF2丨=2a，則丨PF2丨=2a﹣丨PF1丨，

由勾股定理知，丨PF1丨2=丨CF1丨2+丨CP丨2，丨PF1丨2=a2+（a+丨PF2丨2）2，

則丨PF1丨2=a2+（3a﹣丨PF1丨2）2，

解得：丨PF1丨= ，丨PF2丨= ，丨PC丨= ，

∴△PF1C的面積為S= ×a× =12，即a2=18，b2=9．

∴橢圓E的方程為

（2）解：設P（x，y），因為直線AB的方程為y=﹣ x+b，直線PC的方程為y= ﹣b，

所以聯立方程解得M（ ， ）．

因為S =λS ，所以丨CM丨=λ丨CP丨，所以 =λ ，

∴（ ， ）=λ（x，y+b），則x= ，y= ，

代入橢圓E的方程，得 + =1，

即4c2+[2a﹣λ（a+c）]2=λ2（a+c）2，

∴λ= = =1+e+ ﹣2≥2 ﹣2=2 ﹣2，

因為0＜e＜1，1＜e+1＜2，

∴當且僅當e+1= ，即e= ﹣1時，

∴取到最小值2 ﹣2．

【解析】（1）由題意可知b=c，則△F1CF2是等腰直角三角形，利用勾股定理及橢圓的定義，求得丨PF1丨= ，丨PF2丨= ，丨PC丨= ，根據三角形的面積公式，即可求得橢圓E的方程；（2）求得直線AB及PC的方程，聯立求得M點坐標，由題意可知：丨CM丨=λ丨CP丨，根據向量數量積求得P點坐標，代入橢圓方程，利用基本不等式性質即可求得λ的最小值．