Question

如圖，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=3，AB=4，DA=6
（1）當(dāng)AA₁=5時(shí)，求直線C₁D與平面ABCD所成角的正切值；
（2）當(dāng)AA₁的值變化時(shí)，求點(diǎn)C到平面A₁C₁D的距離d的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線C₁D與平面ABCD所成角的正切值．
（2）設(shè)AA₁=t，求出平面A₁DC₁的法向量和

C1C

=（0，0，-t），由此利用向量法能求出點(diǎn)C到平面A₁C₁D的距離d的取值范圍．

解答： 解：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得C₁（4，3，5），D（0，6，0），

C1D

=（-4，3，-5），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)直線C₁D與平面ABCD所成角為θ，
sinθ=|cos＜

C1D

，

n

＞|=|

-5

16+9+25

|=

2

2

，
∴tanθ=1，
∴直線C₁D與平面ABCD所成角的正切值為1．
（2）設(shè)AA₁=t，則D（0，6，0），A（0，0，t），
C（4，3，0），C₁（4，3，t），

DA1

=（0，-6，t），

A1C1

=（4，3，0），
設(shè)平面A₁DC₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DA1 =0 n • A1C1 =0

，∴

0-6y+tz=0 4x+3y=0

，
取x=-3，得

n

=（-3，4，

24

t

），
又

C1C

=（0，0，-t），
∴點(diǎn)C到平面A₁C₁D的距離：
d=

| C1C • n |

| n |

=

24

9+16+( 24 t )2

=

1

( 5 24 )2+ 1 t2

，
∴0＜d＜

24

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角的正切值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．