Question

已知橢圓C₁:+=1(a>b>0)的右頂點為A(1,0),過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1.

(1)求橢圓C₁的方程;
(2)設(shè)點P在拋物線C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在點P處的切線與C₁交于點M,N.當(dāng)線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時,求h的最小值.

Answer 1

（1）+x²=1  （2）1

解:(1)由題意,得
從而
因此,所求的橢圓方程為+x²=1.
(2)設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),
P(t,t²+h),
則拋物線C₂在點P處的切線斜率為
y′|_x=t=2t,
直線MN的方程為:
y=2tx-t²+h.
將上式代入橢圓C₁的方程中,
得4x²+(2tx-t²+h)²-4=0,
即4(1+t²)x²-4t(t²-h)x+(t²-h)²-4=0.①
因為直線MN與橢圓C₁有兩個不同的交點,
所以①式中的
Δ₁=16[-t⁴+2(h+2)t²-h²+4]>0.②
設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x₃,
則x₃==.
設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x₄,
則x₄=.
由題意,得x₃=x₄,
即t²+(1+h)t+1=0.③
由③式中的
Δ₂=(1+h)²-4≥0,
得h≥1或h≤-3.
當(dāng)h≤-3時,h+2<0,4-h²<0,
則不等式②不成立,
所以h≥1.
當(dāng)h=1時,代入方程③得t=-1,
將h=1,t=-1代入不等式②,檢驗成立.
所以h的最小值為1.