Question

已知f（x）是二次函數，f′（x）是它的導函數，且對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表達式；
（2）設t＞0，曲線C：y=f（x）在點P（t，f（t））處的切線為l，l與坐標軸圍成的三角形面積為S（t）．求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）可以現設出二次函數的表達式，結合信息獲得多項式相等進而利用對應系數相等解得參數，即可明確函數解析式；
（2）結合函數的解析式通過求導很容易求的在點P（t，f（t））處的切線l，由此即可表示出三角形的面積關于t的函數S（t）．從而利用導函數知識即可求得函數S（t）的最小值．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），
則f'（x）=2ax+b，（2分）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

，
解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．

（2）由（1）得，P（t，1-t²），切線l的斜率k=f'（t）=-2t，
∴切線l的方程為y-（1-t²）=-2t（x-t），即y=-2tx+t²+1．
從而l與x軸的交點為A(

t2+1

2t

 ， 0)，l與y軸的交點為B（0，t²+1），
∴S(t)=

(t2+1)2

4t

（其中t＞0）．
∴S ′(t)=

(t2+1)( 3 t+1)( 3 t-1)

4t2

．
當0＜t＜

3

3

時，S'（t）＜0，S（t）是減函數；
當t＞

3

3

時，S'（t）＞0，S（t）是增函數．
∴[S(t)]min=S(

3

3

)=

4 3

9

．

點評：本題主要考查二次函數的概念、導數的應用等知識，以及運算求解能力．在解答過程當中，求導的能力、運算的能力、問題轉換的能力以及數形結合的能力都得到了充分的體現，值得同學們體會反思．