Question

已知雙曲線

y2

25

-

x2

9

=1，F₁、F₂為焦點．
（Ⅰ）若P為雙曲線

y2

25

-

x2

9

=1上一點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積；
（Ⅱ）若雙曲線C與雙曲線

y2

25

-

x2

9

=1有相同的漸近線，且過點M(-3

3

，5)，求雙曲線C的方程．

Answer 1

（Ⅰ）設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則|r₁-r₂|=10①…（2分）
由余弦定理可得

r

21

+

r

22

-2r1r2•cos60°=(2

34

)2②，
①²-②得r₁r₂=36…（4分）
∴S△F1PF2=

1

2

r₁r₂sin60°=

1

2

×36×

3

2

=9

3

…（6分）
（Ⅱ）由已知可設雙曲線C的方程為

y2

25

-

x2

9

=λ(λ≠0)…（8分）
將點M(-3

3

，5)坐標代入方程得：λ=

52

25

-

27

9

=-2…（10分）
∴雙曲線C方程為：

x2

18

-

y2

50

=1…（12分）