Question

【題目】選修4-4，坐標系與參數方程

已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求直線的直角坐標方程；

（2）設M（x，y）為橢圓C上任意一點，求|x+y﹣1|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）9

【解析】試題分析：（1）根據 將直線極坐標方程化為直角坐標方程，（2）根據橢圓參數方程化簡|x+y﹣1|，再根據三角函數有界性以及絕對值定義確定函數最大值.

試題解析：（1）根據題意，橢圓C的方程為+=1，

則其參數方程為，（α為參數）；

直線l的極坐標方程為ρsin（θ+）=3，變形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，

即ρsinθ+ρcosθ=3，,將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，

即直線l的普通方程為x+y﹣6=0；

（2）根據題意，M（x，y）為橢圓一點，則設M（2cosθ，4sinθ），

|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，

分析可得，當sin（θ+）=﹣1時，|2x+y﹣1|取得最大值9．