Question

某科研小組對熱能與電能的轉化和燃煤每分鐘的添加量之間的關系進行科學研究，在對某發電廠A號機組的跟蹤調研中發現：若該機組每分鐘燃煤的添加量設計標準為a噸，在正常狀態下，通過自動傳輸帶給該機組每分鐘添加燃煤x噸，理論上可以共生產電能x³-x+10千瓦，而由于實際添加量x與設計標準a存在誤差，實際上會導致電能損耗2|x-a|千瓦，最后實際產生的電能為f（x）千瓦．
（1）試寫出f（x）關于x的函數表達式；當0＜a＜1時，求f（x）的極大值．
（2）該科研小組決定調整設計標準a，控制添加量x，實現對最終生產的電能f（x）的有效控制的科學實驗，若某次實驗中（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦，否則供電不正常．試問這次實驗能否實現這個目標？請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題設知f（x）=x³-x+10-2|x-a|，x＞0
∴f（x）=，
∴，
當a＞1時，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函數；
x∈[a，+∞），f（x）=3x³-3＞0，f（x）是增函數．
當0＜a＜1時，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函數；
x∈（a，1），f′（x）=3x²-3＜0，f（x）是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）=3x²-3＞0，f（x）是增函數．
∴x=a時，f（x）有極大值f（a）=a³+a+10-2a=a³-a+10．
（2）∵a∈[，1]，x∈[，]，
∴由（1）知f（x）在（，a]上是增函數，在（a，1）上是減函數，在（1，）上是增函數，
∴f（x）_min=min{f（），f（1）}，
∵f（）=（）³++10-2a=，
f（1）=8+2a，f（2）-f（）=4a-．
∴當時，f（1）≥f（），
當時，f（1）＜f（），
故當a∈[，）時，f（x）_min=f（1）=2a+8≥9，可以實現目標．
當a∈[，1]時，f（x）_min=f（）=-2a∈[，]，
從而a∈[，]時，f（x）_min=f（）≥9，a∈[，1]時，f（x）_min=f（）＜9，
綜上所述，a∈[]時，能實現目標；a∈[，1]時，不能實現目標．
分析：（1）由題設知f（x）=，從而得到，由此能求出0＜a＜1時f（x）的極大值．
（2）由a∈[，1]，x∈[，]，知f（x）在（，a]上是增函數，在（a，1）上是減函數，在（1，）上是增函數，從而得到f（x）_min=min{f（），f（1）}，由此能求出結果．
點評：本題考查函數在生產生活中的合理運用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．