【題目】已知橢圓
的左焦點為
，橢圓上動點
到點的最遠距離和最近距離分別為
和
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設
分別為橢圓的左、右頂點，過點且斜率為
的直線
與橢圓交于
、
兩點，若
，
為坐標原點，求
的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據橢圓上動點
到點
的最遠距離和最近距離求得
的值，由此求得
的值，結合
求得
的值，進而求得橢圓方程.
（2）解法一：設出直線
的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結合
求得
的值，然后根據三角形的面積公式求得三角形
的面積.解法二：主要步驟和解法一相同，不同點在于采用代數式恒等變換求得的值，其它步驟與解法一相同..
（1）設
，由已知，
.∴
.∴
.則橢圓的方程為.
（2）解法1：設
.與橢圓聯立得
.化簡得
.設
，由韋達定理，有
.又
，
.
.
∴
.則
.聯立得
.
則
.即
.
∴
.
∴
.
解法2：設.，
與橢圓聯立得.化簡得.
其兩個分別為
，∴
.①
又
.
.
∵.化簡得到
.②
在①中，令
，得
.③
令
，
.∴
，
.④
將③、④代入②得
.解得.
則.即.
∴.
∴.
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【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，過點
的直線與橢圓
交于
兩點，延長
交橢圓于點
，
的周長為8.
（1）求的離心率及方程；
（2）試問：是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求
；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
；直線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線分別交于
，
兩點.
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）若點
的極坐標為
，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
，函數
在
，
處取得極值，其中
.
（1）求實數t的取值范圍；
（2）判斷
在
上的單調性并證明；
（3）已知在上的任意
、
，都有
，令
，若函數
有3個不同的零點，求實數m的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
和圓
，傾斜角為45°的直線
過拋物線
的焦點，且與圓
相切．
（1）求
的值；
（2）動點
在拋物線的準線上，動點
在上，若在點處的切線
交
軸于點
，設
．求證點
在定直線上，并求該定直線的方程．
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