Question

已知點F（0，1），點P在x軸上運動，M點在y軸上，N為動點，且滿足，．
（1）求動點N的軌跡C方程；
（2）由直線y=-1上一點Q向曲線C引兩條切線，切點分別為A，B，求證：AQ⊥BQ．

Answer 1

解：（1）設N（x，y）．
因，
故P的坐標為（，0），M（0，-y），
于是，，．
因，
即得曲線C的方程為x²=4y
（2）設Q（m，-1）．
由題意，兩條切線的斜率k均存在，
故可設兩切線方程為y=k（x-m）-1．
將上述方程代入x²=4y，
得x²-4kx+4km+4=0．
依題意，△=（-4k）²-4（4km+4）=0，
即k²-mk-1=0．
上述方程的兩根即為兩切線的斜率，
由根與系數的關系，其積為-1，即它們所在直線互相垂直
∴AQ⊥BQ
分析：（1）首先根據分別表示出P，M的坐標；然后根據兩個條件即可求出動點N的軌跡C方程．
（2）根據兩條直線斜率k均存在，故直接設出兩切線方程，代入曲線C的方程，化簡為一元二次方程，根據判別式△=0得到一個關系式，根據韋達定理易得出兩根之積為-1，即兩斜率之積為-1，易得出兩直線垂直
點評：本題考查求點的運動軌跡方程問題和直線與圓錐曲線相切問題，涉及到一元二次方程判別式與韋達定理的問題，屬于難題