Question

（2013•石家莊二模）在平面直角坐標系中，已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面內動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且

QF

•(

QP

+

FP

)=0．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點M（0，m）（m＞0）的直線AB與曲線E交于A、B兩個不同點，設∠AFB=θ，若對于所有這樣的直線AB，都有θ∈（

π

2

，π]．求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出懂點P的坐標，由題意得到Q的坐標，寫出向量

QF

，

QP

，

FP

的坐標，代入

QF

•(

QP

+

FP

)=0整理即可得到動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）把∠AFB=θ轉化為兩個向量

FA

，

FB

所成的角，由θ∈（

π

2

，π]得到兩個向量的數量積小于0，代入坐標后整理得到m²-6m+1＜4k²，根據k是實數轉化為關于m的不等式，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），則Q（x，-1），又F（0，1）．
則

QF

=(-x，2)，

QP

=(0，y+1)，

FP

=(x，y+1)．
由

QF

•(

QP

+

FP

)=0．
得x²=4y．
∴動點P的軌跡曲線E的方程為x²=4y；
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意cosθ=

FA • FB

| FA |•| FB |

＜0，
即

FA

•

FB

＜0．又

FA

=(x1，y1-1)，

FB

=(x2，y2-1)
∴

FA

•

FB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1＜0．
由

y=kx+m x2=4y

消去y得x的方程x²-4kx-4m=0．
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m，y1y2=

1

16

(x1x2)2=m2，
∴

FA

•

FB

=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4m+m²-4k²-2m+1＜0
即m²-6m+1＜4k²對k∈R恒成立．∴m²-6m+1＜0．
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了數學轉化思想方法，解答的關鍵是由∠AFB為鈍角轉化為關于m的不等式，是有一定難度題目．