Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形。

    (Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值?若存在，求出的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

(Ⅰ) 橢圓的方程為

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，為定值

解析:

(Ⅰ)由題意知拋物線的焦點(diǎn)

……………………………………………………………………………1分

 又橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形

 

 橢圓的方程為……………………………………………………3分

 (Ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，則的方程為：

 

 

 

 ………………………………………5分

 則

        

         

         

         ……………………………………7分

        

         ……………………………………9分

當(dāng) 即時(shí)為定值…………………………10分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

由可得

綜上所述當(dāng)時(shí)，為定值………