Question

數列{}的前n項和為，．
（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）若，數列的前項和，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ） 由，令可求，時，利用可得與之間的遞推關系，構造等可證等比數列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用錯位相減法可求數列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）進而可求，利用（）進行不等式放縮，求數列{}的和即可求證.
試題解析：（Ⅰ）因為，
所以  ① 當時，，則，             （1分）
② 當時，，       （2分）
所以，即，
所以，而，             （3分）
所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．   （4分）
（Ⅱ）由(1)得．
所以 ①，
②，               （5分）
②-①得：，                    （7分）
                 .    （9分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知                                      （10分）
（1）當時，成立；                      （11分）
（2）當時，，，     （13分）
所以.    （14分）
（本題放縮方法不唯一,請酌情給分）