Question

已知數列{a_n},a_n0_, a₁=0,a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（nN*）.記：

S_n=a₁+a₂+…+a_n,  T_n=…+.

求證：當nN*時，

（Ⅰ）a_n<a_n+1;

（Ⅱ）S_n>n-2;

（III）T_n<3.

Answer 1

證明：（Ⅰ）用數學歸納法證明

①當時，因為是方程的正根，所以

       ②假設當時，，

       因為

                            　

       所以

即當時，也成立。

根據①和②，可知對于任何都成立。

（Ⅱ）由，

       得，

       因為，所以。

由及得，

所以。

（Ⅲ）由，得

      

所以，

于是

故當時，，

又因為，

所以。