Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）①設(shè)，求的最小值；

②定義：對于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“隔離直線”.設(shè)，試探究與是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①0；②存在，

【解析】

（1）先求導(dǎo)，.再分① ，， 三種情況分類討論.

（2）①由，再求導(dǎo).，分， 求解最小值；②由①知與的圖象在處有公共點(diǎn).設(shè)與存在“隔離直線”，方程為，即，再論證在上恒成立， 恒成立即可.

（1）.

①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增，不存在極值；

②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞減，不存在極值；

③當(dāng)時(shí)，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

在處取得極小值.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）①，

則.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此時(shí)，取得最小值0；

②由①知與的圖象在處有公共點(diǎn).

設(shè)與存在“隔離直線”，方程為，即，

由在上恒成立，則在上恒成立.

所以成立，

因此.

下面證明恒成立.

設(shè)，則.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此時(shí)取得最大值，則恒成立.

故所求“隔離直線”方程為：.