Question

【題目】函數f（x）=2x﹣ex+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x﹣ex+1，f′（x）=2﹣ex，

令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，

∴f（x）在（﹣∞，ln2）遞增，在（ln2，+∞）遞減，

∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2﹣1

（2）解：x∈（0，1）時，f（x）在（0，ln2）遞增，在（ln2，1）遞減，

且f（0）=0，f（1）=3﹣e＞0，∴f（x）＞0，

∵tanx＞0，∴a≤0時，af（x）≤0＜tanx；

a＞0時，令g（x）=tanx﹣af（x），

則g′（x）= +a（ex﹣2），

∴g（x）在（0，1）遞增且g′（0）=1﹣a，

①0＜a≤1時，g′（0）≥0，g′（x）≥0，

∴g（x）在（0，1）遞增，又g（0）=0，

∴此時g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，

②a＞1時，g′（0）＜0，g′（1）＞0，

∴x0∈（0，1），使得g′（x0）=0，

即x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，

又g（0）=0，

∴g（x）＜0與af（x）＜tanx矛盾，

綜上：a≤1

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值；（2）求出f（x）在（0，1）為正，a≤0時，符合題意，a＞0時，通過討論①0＜a≤1，②a＞1時的情況，結合函數的單調性求出a的具體范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．