Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F及點A（0，b），原點O到直線FA的距離為

2

2

b．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若點F關于直線l：2x+y=0的對稱點P在圓O：x²+y²=4上，求橢圓C的方程及點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由點F（-ae，0），點A（0，b）及b=

1-e2

a得直線FA的方程為

x

-ae

+

y

1-e2 a

=1，由原點O到直線FA的距離為

2

2

b=a

1-e2 2

，知

ae 1-e2

1-e2+e2

=a

1-e2 2

，e=

2

2

，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）設橢圓C的左焦點F(-

2

2

a，0)關于直線l：2x+y=0的對稱點為P（x₀，y₀），則有

y0 x0+ 2 2 a = 1 2 2• x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0.

，由此入手能夠推導出點P的坐標．

解答：解：（1）由點F（-ae，0），點A（0，b）及b=

1-e2

a得直線FA的方程為

x

-ae

+

y

1-e2 a

=1，即

1-e2

x-ey+ae

1-e2

=0，（2分）
∵原點O到直線FA的距離為

2

2

b=a

1-e2 2

，
∴

ae 1-e2

1-e2+e2

=a

1-e2 2

，e=

2

2

．（5分）
故橢圓C的離心率e=

2

2

．（7分）
（2）解：設橢圓C的左焦點F(-

2

2

a，0)關于直線l：2x+y=0的對稱點為P（x₀，y₀），則有

y0 x0+ 2 2 a = 1 2 2• x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0.

（10分）
解之，得x0=

3 2

10

a，y0=

4 2

10

a．∵P在圓x²+y²=4上
∴(

3 2

10

a)2+(

4 2

10

a)2=4，
∴a²=8，b²=（1-e²）a²=4．（13分）
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1，
點P的坐標為(

6

5

，

8

5

)．（14分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法、求解橢圓方程的方法和點的坐標的求解，解題時要認真審題，仔細解答．