Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則一定有

1. A.
   a＜0b＞0c＞0d＜0
2. B.
   a＜0b＜0c＞0d＜0
3. C.
   a＜0b＞0c＜0d＜0
4. D.
   a＜0b＜0c＜0d＜0

Answer 1

A
分析：由已知中函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象，根據(jù)其與y軸交點的位置，可以判斷d的符號，進而根據(jù)其單調(diào)性和極值點的位置，可以判斷出其中導(dǎo)函數(shù)圖象的開口方向（可判斷a的符號）及對應(yīng)函數(shù)兩個根的情況，結(jié)合韋達定理，可分析出b，c的符號，進而得到答案．
解答：∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為負，故d＜0；
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象有兩個遞減區(qū)間，有兩個遞增區(qū)間
∴f′（x）=3ax²+2bx+c的圖象開口方向朝下，且于x軸有兩個交點，故a＜0，
又∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象的極小值點和極大值點在y軸兩側(cè)，且極小點離y軸近
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩根x₁，x₂滿足
x₁+x₂＞0，則b＞0，x₁•x₂＜0，則c＞0
綜上a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，
故選A
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中根據(jù)圖象的形狀分析其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，同時由于本題涉及到導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)取極值的條件等諸多難點，故難度比較大．