Question

三角形ABC中，b=5，c=3且滿足sin²2A-sin2AsinA+cos2A=1，求cos（B-C）

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用二倍角的正弦與同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可求得cosA=-

1

2

，sinA=

1-cos2A

=

3

2

，再利用余弦定理，可求得a=7，利用正弦定理可求得sinB、sinC，cosB、cosC，最后利用兩角差的余弦即可求得答案．

解答： 解：依題意得：（2sinAcosA）²-2（sinAcosA）sinA+（1-2sin²A）=1，
4sin²Acos²A-2sin²AcosA-2sin²A=0，等號(hào)兩端同除以2sin²A，得2cos²A-cosA-1=0，
整理得：（2cosA+1）（cosA-1）=0，
所以，cosA=-

1

2

或cosA=1（舍去），
所以，cosA=-

1

2

，sinA=

1-cos2A

=

3

2

．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+9-2×5×3×（-

1

2

）=49，
所以a=7．
因?yàn)?span id="queqaeu" class="MathJye">

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，所以

7

3 2

=

5

sinB

=

3

sinC

，解得：sinB=

5 3

14

，sinC=

3 3

14

，cosB=

1-sin2B

=

11

14

，cosC=

1-sin2C

=

13

14

，
所以，cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=

55 3 +39 3

142

=

94 3

196

=

47 3

98

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，考查二倍角的正弦與同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查化歸思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．