Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線的距離為定值.

Answer 1

(1)（2）見(jiàn)解析

解析試題分析：(1)由離心率，右焦點(diǎn)坐標(biāo)易得各常量值. (2)先假設(shè)，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立，可得又OA⊥OB，滿足根與系數(shù)的關(guān)系，可得4 m²＝3 k²＋3，代入點(diǎn)到直線的距離可得d＝.
試題解析：（1）由右焦點(diǎn)為(，0)，則，又，所以，
那么                                   4分
（2） 設(shè)，，若k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx＋m.
由，得    6分
＞0，                 8分
有OA⊥OB知x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(k x₁＋m) (k x₂＋m)＝(1＋k²) x₁x₂＋k m(x₁＋x₂)＝0       10分
代入，得4 m²＝3 k²＋3原點(diǎn)到直線AB的距離d＝.      12分
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，,可得，依然成立．   13分
所以點(diǎn)O到直線的距離為定值           14分
考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)概念，標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系.