Question

給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

Answer 1

（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（1）求橢圓方程，利用待定系數(shù)法，列兩個(gè)獨(dú)立方程就可解出因?yàn)槎梯S上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，所以而所以再根據(jù)“準(zhǔn)圓”定義，寫出“準(zhǔn)圓”方程.（2）（ⅰ）直線與橢圓相切問題，通常利用判別式為零求切線方程，利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消得關(guān)于的一元二次方程，由判別式為零得斜率,即證得兩直線垂直.（ⅱ）本題是（ⅰ）的一般化，首先對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論，探討得斜率不存在時(shí)有兩直線垂直，即將問題轉(zhuǎn)化為研究直線是否垂直問題，具體就是研究是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于點(diǎn)坐標(biāo)在變化，所以由判別式為零得關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等式：，即，而這等式對(duì)兩條切線都適用，所以的斜率為方程兩根，因此.當(dāng)垂直時(shí)，線段為準(zhǔn)圓的直徑，為定值4.
試題解析：解：（1），
橢圓方程為，                            2分
準(zhǔn)圓方程為.                             3分
（2）（ⅰ）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，
設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線為，
所以由得.
因?yàn)橹本�與橢圓相切，
所以，解得，       6分
所以方程為.                 7分
，.                              8分
（ⅱ）①當(dāng)直線中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線斜率不存在，
則：，
當(dāng)：時(shí)，與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，
此時(shí)為（或），顯然直線垂直；
同理可證當(dāng)：時(shí)，直線垂直.             10分
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓相切的直線為，
所以由