Question

某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示．

（I）估計這次測試數學成績的平均分；
（II）假設在[90，100]段的學生的數學成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任意抽取2個數，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數學成績的次數為，求的分布列及數學期望．

Answer 1

（I）72分；（II）詳見解析.

解析試題分析：（I）利用每組的數據的中值估算抽樣學生的平均分，類似于加權平均數的算法，讓每一段的中值乘以這一段對應的頻率，得到平均數，利用樣本的平均數來估計總體的平均數；
（II）根據等可能事件的概率公式得到兩個數恰好是兩個學生的數學成績的概率，隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項分布，根據符合二項分布寫出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法來解．
試題解析：（I）利用中值估算抽樣學生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.               （3分）
眾數的估計值為75分                 （5分）
所以，估計這次考試的平均分是72分．                            （6分）
（注：這里的眾數、平均值為估計量，若遺漏估計或大約等詞語扣一分）
（II）從95， 96，97，98，99，100中抽2個數的全部可能的基本結果數是，
有15種結果，學生的成績在[90，100]段的人數是0.005×10×80=4（人），
這兩個數恰好是兩個學生的數學成績的基本結果數是，
兩個數恰好是兩個學生的數學成績的概率                （8分）
隨機變量的可能取值為0、1、2、3，則有．
∴
∴變量的分布列為：

	0	1	2	3
P

                                                          （10分）
          （12分）
解法二. 隨機變量滿足獨立重復試驗,所以為二項分布,即  （10分）
      （12分）.
考點： 1.離散型隨機變量的期望與方差；2.頻率分布直方圖；3.離散型隨機變量及其分布列．