Question

【題目】如圖，橢圓 =1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，滿足Mm= a2 ．

（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．記△GFD的面積為S1 ， △OED的面積為S2 ， 求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)F（﹣c，0）（c＞0），則根據(jù)橢圓性質(zhì)得M=a+c，m=a﹣c，而 ，所以有 ，即a2=4c2，a=2c，

因此橢圓的離心率為

（2）解：由（1）可知a=2c， ，橢圓的方程為 ．

根據(jù)條件直線AB的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），

并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則由 消去y并整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0

從而有 ，

所以 ．

因?yàn)镈G⊥AB，所以 ， ．

由Rt△FGD與Rt△EOD相似，所以 ．

令 ，則t＞9，從而 ，即 的取值范圍是 ．

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=a﹣c，結(jié)合Mm= a2即可求出離心率；（2）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線AB的方程為y=k（x+c），與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而表示出點(diǎn)G、點(diǎn)D，然后表示出面積，從而求出