Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為原點(diǎn)，以x軸正半軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0，直線l的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)）．
（1）寫出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)A，B是曲線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求∠APB的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ρ2﹣4ρsinθ+3=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣4y+3=0，即x2+（y﹣2）2=1．

∵直線l的參數(shù)方程為 ，∴x﹣1+y﹣3=0，即x+y﹣4=0

（2）解：曲線C的圓心C（0，2）到直線l的距離d= ＞1．

∴直線l與圓C相離．

過點(diǎn)P作圓C的切線，則當(dāng)A，B為切點(diǎn)時(shí)，∠APB最大．

連結(jié)OP，OA，則∠OPA= ∠APB，sin∠OPA= = ．

∴當(dāng)OP取得最小值 時(shí)，sin∠OPA取得最大值 ，即∠OPA的最大值為 ，

∴∠APB的最大值為2∠OPA=

【解析】（1）將ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y代入極坐標(biāo)方程得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程兩式相加消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程；（2）計(jì)算圓心C到直線l的距離可知直線與圓C相離，過P做圓C的切線，則當(dāng)OP最小，A，B為切點(diǎn)時(shí)，∠APB最大．