Question

某企業在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的價值a_n的表達式；
（Ⅱ）設An=

a1+a2+…+an

n

，若An大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新．證明：須在第9年初對M更新．

Answer 1

分析：（I）通過對n的分段討論，得到一個等差數列和一個等比數列，利用等差數列的通項公式及等比數列的通項公式求出第n年初M的價值a_n的表達式；
（II）利用等差數列、等比數列的前n項和公式求出A_n，判斷出其兩段的單調性，求出兩段的最小值，與80比較，判斷出須在第9年初對M更新．

解答：解：（I）當n＜6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列
a_n=120-10（n-1）=130-10n
當n≥6時，數列{a_n}是以a₆為首項，公比為

3

4

的等比數列，又a₆=70
所以an=70×(

3

4

)n-6
因此，第n年初，M的價值a_n的表達式為an=

130-10n(n≤6) 70× ( 3 4 )n-6(n≥7)

（II）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，由等差、等比數列的求和公式得
當1≤n≤6時，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n
當n≥7時，由于S₆=570故
S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）=570+

70× 3 4 ×[1-( 3 4 )n-6]

1- 3 4

=780-210×(

3

4

)n-6An=

780-210×( 3 4 )n-6

n

因為{a_n}是遞減數列，
所以{A_n}是遞減數列，
又A8=

780-210×( 3 4 )2

8

=82

47

64

＞80
A9=

780-210×( 3 4 )3

9

=76

79

96

＜80
所以須在第9年初對M更新．

點評：本題考查等差數列的通項公式，前n項和公式、考查等比數列的通項公式及前n項和公式、考查分段函數的問題要分到研究．