Question

【題目】遞增數(shù)列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整數(shù)組成，它們要么是3的冪要么是若干個(gè)不同的3的冪的和.求第2014項(xiàng)的值.

Answer 1

【答案】88329

【解析】

記此數(shù)列為.則.

用二進(jìn)制表示項(xiàng)的序號(hào)n，三進(jìn)制表示項(xiàng)，

，

，

，

，

，

，

，

.

由題意，知的三進(jìn)制表示各位僅可取0、1兩個(gè)值且單調(diào)遞增，由此可猜測(cè)當(dāng)時(shí)，.

接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立.

則當(dāng)時(shí)，其中，，必有整數(shù)，使且.

故.

于是，.

由假設(shè)得，它是若干不同的3的冪之和且小于的最大值.

由單調(diào)遞增知

，

其中，.

則，

且仍為中某一項(xiàng)（當(dāng)然）.

于是，即

.

故 .

另一方面，，

當(dāng)然，可表示為若干個(gè)互不相同的3的冪之和，故存在，使.

從而，.

而，于是，，即.

因此，.

這導(dǎo)致.

故當(dāng)時(shí)，命題仍成立.

因?yàn)?/span>，所以，

.