Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為n，正數a，b滿足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題意，函數f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1． 若f（x）≤6，則有 或 ，
解可得﹣1≤x≤4，
故原不等式的解集為{x|﹣1≤x≤4}；
（Ⅱ）函數f（x）=x+1+|3﹣x|= ，
分析可得f（x）的最小值為4，即n=4；
則正數a，b滿足8ab=a+2b，即 =8，
2a+b= （ ）（2a+b）= （ +5）≥ （5+2 ）= ；
即2a+b的最小值為 ．
【解析】（Ⅰ）根據題意，由絕對值的性質可以將f（x）≤6轉化可得 或 ，解可得x的范圍，即可得答案；（Ⅱ）根據題意，由函數f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值為4，即n=4；進而可得正數a，b滿足8ab=a+2b，即 =8，將2a+b變形可得2a+b= （ +5），由基本不等式的性質可得2a+b的最小值，即可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．