Question

（2013•寶山區(qū)二模）如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB的大小等于

π

3

，半徑為2，在半徑OA上有一動點C，過點C作平行于OB的直線交弧AB于點P．
（1）若C是半徑OA的中點，求線段PC的大小；
（2）設(shè)∠COP=θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析：（1）在△POC中，根據(jù)∠OCP=

2π

3

，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．
（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，記△POC的面積為S（θ），則S(θ)=

1

2

CP•OCsin

2π

3

，利用
兩角和差的正弦公式化為

2 3

3

(sin2θ+

π

6

)-

3

3

，可得θ=

π

6

時，S（θ）取得最大值為

3

3

．
解法二：利用余弦定理求得OC²+PC²+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以S=

1

2

CP•OCsin

2π

3

≤

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

，再根據(jù)OC=PC 求得△POC面積的最大值時θ的值．

解答：解：（1）在△POC中，∠OCP=

2π

3

，OP=2，OC=1，
由OP2=OC2+PC2-2OC•PCcos

2π

3

得PC²+PC-3=0，解得PC=

-1+ 13

2

．
（2）解法一：∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=

π

3

-θ，
在△POC中，由正弦定理得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

，
即

2

sin 2π 3

=

CP

sinθ

，∴CP=

4

3

sinθ．
又

OC

sin( π 3 -θ)

=

CP

sin 2π 3

，∴OC=

4

3

sin(

π

3

-θ)．
記△POC的面積為S（θ），則S(θ)=

1

2

CP•OCsin

2π

3

=

1

2

•

4

3

sinθ•

4

3

sin(

π

3

-θ)×

3

2

=

4

3

sinθ•sin(

π

3

-θ)=

4

3

sinθ(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)=2sinθcosθ-

2

3

sin2θ
=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

(sin2θ+

π

6

)-

3

3

，
∴θ=

π

6

時，S（θ）取得最大值為

3

3

．
解法二：cos

2π

3

=

OC2+PC2-4

2OC•PC

=-

1

2

，即OC²+PC²+OC•PC=4．
又OC²+PC²+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，當(dāng)且僅當(dāng)OC=PC時等號成立，
所以S=

1

2

CP•OCsin

2π

3

≤

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

，∵OC=PC，
∴θ=

π

6

時，S（θ）取得最大值為

3

3

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，屬于中檔題．