Question

設橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1，F是右焦點，l是過點F的一條直線（不與y軸平行），交橢圓于A、B兩點，l′是AB的中垂線，交橢圓的長軸于一點D，則

DF

AB

的值是

2

5

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點M（x₀，y₀），直線l的斜率為k，則l′的斜率為-

1

k

，由k=

y2-y1

x2-x1

及中點坐標公式，利用點差可得k=-

9x0

25y0

，由-

1

k

=

y0

x0-m

及-

9x0

25y0

•

y0

x0-m

=-1可求m=

16x0

25

由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

(

25

4

-x1+

25

4

-x2)=10-

8x0

5

代入可求

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點M（x₀，y₀），直線l的斜率為k，則l′的斜率為-

1

k

則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，k=

y2-y1

x2-x1

由題意可得

x12 25 + y12 9 =1 x22 25 + y22 9 =1

，兩式相減可得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

9

=0
整理可得，k=-

9x0

25y0

又∵-

1

k

=

y0

x0-m

∴-

9x0

25y0

•

y0

x0-m

=-1
∴m=

16x0

25

，|DF|=|4-

16x0

25

|
∵e=

4

5

，右準線x=

25

4

，過A，B分別向右準線作垂線，垂足分別為E，G
由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

(|AE|+|BG||=

4

5

(

25

4

-x1+

25

4

-x2)
=10-

8x0

5

|DF|

|AB|

=|

4- 16x0 25

10- 8x0 5

|=|

100-16x0

250-40x0

|=|

2(50-8x0)

5(50-8x0)

|=

2

5

故答案為

2

5

點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，橢圓的第二定義的應用點差法的應用是解答本題的關鍵