Question

設(shè)雙曲線(xiàn)C以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為2

3

．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若直線(xiàn)y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以P（0，3）為圓心的同一圓上，求實(shí)數(shù)m的取信范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)要求的雙曲線(xiàn)C方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其漸近線(xiàn)方程為y=±

b

a

x．先求出橢圓的焦點(diǎn)，即得到雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及a²=c²-b²即可；
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由E，F(xiàn)都在以P（0，3）為圓心的同一圓上，利用圓的方程即可得到k，m的關(guān)系式．利用直線(xiàn)y=kx+m與雙曲線(xiàn)的方程，利用△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)要求的雙曲線(xiàn)C方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其漸近線(xiàn)方程為y=±

b

a

x．
∵

25-9

=4，∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（±4，0），即為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)．
∴焦點(diǎn)（4，0）到漸近線(xiàn)y=

b

a

x的距離2

3

=

|4b|

a2+b2

，得4b=2

3

×4，解得b=2

3

．
∴a2=c2-b2=42-(2

3

)2=4，
∴雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∵E，F(xiàn)都在以P（0，3）為圓心的同一圓上，
∴

x

2 1

+(y1-3)2=

x

2 2

+(y2-3)2，化為x₁+x₂+k（y₁+y₂-6）=0，
又y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
代入上式整理得（1+k²）（x₁+x₂）+k（2m-6）=0．（*）
聯(lián)立

y=kx+m 3x2-y2=12

，化為（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0（3-k²≠0）．
由題意△=4k²m²+4（3-k²）（m²+12）＞0，化為12+m²＞4k²．（**）
又x1+x2=

2km

3-k2

，（k≠0），代入（*）整理為k2=

9-4m

3

，代入（**）
整理為3m²+16m＞0，解得m＜-

16

3

或m＞0．
由k2=

9-4m

3

＞0，解得m＜

9

4

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-

16

3

)∪（0，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判別式及根與系數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力．