Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）
（1）若函數f（x）在x=1處有極值為10，求b的值；
（2）若a=﹣4，f（x）在x∈[0，2]上單調遞增，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2+2ax+b，

若函數f（x）在x=1處有極值為10，

則 或 ，

當 時，f'（x）=3x2+8x﹣11，

△=64+132＞0，所以函數有極值點；

當 時，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，

所以函數無極值點；

則b的值為﹣11

（2）解：a=﹣4時，f（x）=x3﹣4x2+bx+16，

f'（x）=3x2﹣8x+b≥0對任意的x∈[0，2]都成立，

即b≥﹣3x2+8x，x∈[0，2]，

令h（x）=﹣3x2+8x，對稱軸x= ，

函數h（x）在[0， ）遞增，在（ ，2]遞減，

故h（x）max=h（ ）= ，

故b≥ ，

則b的最小值為

【解析】（1）首先求出，根據題意得且，解關于a,b的方程組得到或，經檢驗當時函數無極值點，舍去。（2）由題意，將原問題轉化為，結合二次函數的性質可得b的最小值為。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．