Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁⊥平面ABC，且AC⊥BC₁，AA₁=3，AC=CB=2．E，F分別為線段B₁C₁，BB₁上的動點．
（Ⅰ）證明：直線AC⊥平面B₁BCC₁
（Ⅱ）若BF=B₁E=x（0≤x≤2），試求三棱錐F-AEB₁的體積的最大值？
（Ⅲ）d （Ⅱ）的條件下，在平面A₁B₁C₁內過點B₁作一條直線與平面AEF平行，與A₁C₁交于點P，并寫出

A1P

PC1

的值（要求保留作圖痕跡，但不要求寫出證明或求解的過程．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥AC，BC⊥AC，由此能證明AC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）由已知得AC⊥平面B₁EF，B₁F=3-x，從而VF-AEB1=VA-FEB1=

1

3

×2×

1

2

x×(3-x)=

1

3

(3x-x2)，由此能求出x=

3

2

時，三棱錐F-AEB₁的體積最大，最大值為

3

4

．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的條件，在平面A₁B₁C₁內過點B₁作一條直線與平面AEF平行，與A₁C₁交于點P，并寫出

A1P

PC1

的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵BB₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴BB₁⊥AC，
∵BC⊥AC，又BC∩BB₁=B，
∴AC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AC⊥平面B₁EF，
由BF=B₁E=x（0≤x≤2），得B₁F=3-x，
∴VF-AEB1=VA-FEB1=

1

3

•AC•S△EFB1
=

1

3

×2×

1

2

x×(3-x)=

1

3

(3x-x2)
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

3

4

，
∴x=

3

2

時，三棱錐F-AEB₁的體積最大，最大值為

3

4

．
（Ⅲ）如圖，直線B₁P即為所求的直線，
且

A1P

PC1

=

3

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查在平面A₁B₁C₁內過點B₁作一條直線與平面AEF平行，與A₁C₁交于點P，并寫出

A1P

PC1

的值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．