Question

【題目】已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點F1、F2 ， P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內的一個公共點，設橢圓C1與雙曲線C2的離心率為e1 ， e2 ， 且 = ，若∠F1PF2= ，則雙曲線C2的漸近線方程為（ ）
A.x±y=0
B.x± y=0
C.x± y=0
D.x±2y=0

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設橢圓C1的方程： （a1＞b1＞0），雙曲線C2的方程： （a2＞0，b2＞0），

焦點F1（﹣c，0），F2（c，0），

由e1= ，e1= ，由 = ，則 = ，則a1=3a2，

由題意的定義：丨PF1丨+丨PF2丨=2a1，丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2，

則丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，

由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF1丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos∠F1PF2，

則（2c）2=（4a2）2+（2a2）2﹣2×4a2×2a2× ，

c2=3a22，b22=c2﹣a22=2a22，則b2= a2，

雙曲線的漸近線方程y=± x=± x，即x± y=0，

故選：C．