Question

設AB為過橢圓x²+4y²=4中心的弦，F為焦點，求△FAB的最大面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意設A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），表示出直線AB的方程，求出|AB|，及點F到直線AB的距離，表示出面積S=|y₀|c，所以當|y₀|取最大值b時，△FAB的面積最大，并且最大為bc．

解答： 解：設A（x₀，y₀），則B（-x₀，-y₀），直線AB的方程為：y=

y0

x0

x；
∴|AB|=2

x02+y02

，F到AB的距離為：

c|y0|

y02+x02

；
∴△FAB的面積為：S=

1

2

•2

x02+y02

•

c|y0|

y02+x02

=c|y₀|；
∵-b≤y₀≤b，∴|y₀|=b時，S取最大值bc=

3

．

點評：考查橢圓的幾何性質：圖形關于原點對稱，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式，兩點間距離公式．