Question

已知函數，，其中.
(1)若是函數的極值點，求實數的值；
(2)若對任意的(為自然對數的底數)都有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1)；(2)．

試題分析：（1）利用函數極值點的導數等于0，且此點的左側和右側導數的符號相反，求得實數的值；（2）問題等價于對任意的時，都有，分類討論，利用導數的符號判斷函數的單調性，由單調性求出函數的最小值及的最大值，根據它們之間的關系求出實數的取值范圍．
試題解析：(1)∵，其定義域為，∴．
∵是函數的極值點，∴，即.
∵，∴．
經檢驗當時，是函數的極值點，∴．
(2)對任意的都有成立等價于對任意的，都有．
當時，．
∴函數在上是增函數，∴.
∵，且，．
①當且時，，
∴函數在上是增函數，∴．
由，得a≥，
又，∴不合題意．
②當時，
若，則，
若，則．
∴函數在上是減函數，在上是增函數．
∴.
由，得．又，∴．
③當且時，，
函數在上是減函數．
∴.
由，得．又，∴.
綜上所述，的取值范圍為．