Question

【題目】已知球的半徑為3，該球的內接正三棱錐的體積最大值為，內接正四棱錐的體積最大值為，則的值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設球心O到正三棱錐 底面MNQ的距離為x，則VP﹣MNQ，設正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，則V（x）a2h（18﹣2x2）（3+x），利用均值不等式分別求最值即可.

設球心O到正三棱錐 底面MNQ的距離為x，則0≤x＜3，

設底面中心為O′，則O′M，

∴底面邊長MNO′M，棱錐的高SO′＝x+3，

∴VP﹣MNQ（3+x）（6﹣2x）（x+3）（）3＝8．即8

當且僅當x+3＝6﹣2x即x＝1時取得等號．

設正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，

則：x2+（a）2＝9，

而正四棱錐的高為h＝3+x，

故正四棱錐體積為：

V（x）a2h（18﹣2x2）（3+x）（6﹣2x）（3+x）（3+x）

（）3，即

當且僅當x＝2時，等號成立，

∴

故答案為：