Question

給出下列四個命題，其中所有正確命題的序號為

①②

．
①當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P（-2，3）；
②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標準方程是

x2

5

-

y2

20

=1；
③拋物線y=ax²（a≠0）的焦點坐標為（

1

4a

，0）；
④曲線C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1不可能表示橢圓．

Answer 1

分析：①中直線可化為（x+2）a+（-x-y+1）=0，要使a為任意實數時，此式恒成立，則有

x+2=0 -x-y+1=0

得

x=-2 y=3

，故①正確；②中根據漸近線方程求得a和b的關系，進而根據焦距求得a和b，雙曲線方程可得，判斷②正確；③把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質可得拋物線的焦點在y軸上，判斷③錯誤；④當4-k＞0，k-1＞0且4-k≠k-1時，曲線表示橢圓，故④錯誤．

解答：解：對于①，直線（a-1）x-y+2a+1=0可化為（x+2）a+（-x-y+1）=0，
要使a為任意實數時，此式恒成立，則有

x+2=0 -x-y+1=0

得

x=-2 y=3

，
∴直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P（-2，3），
故①正確；
②對于依題意知

b

a

=2，a²+b²=25求得a=

5

，b=2

5

，故可知結論②正確；
③整理拋物線方程得x²=

1

a

y，根據拋物線性質可知，拋物線的焦點在y軸上，故③錯誤；
④當4-k＞0，k-1＞0且4-k≠k-1時，曲線表示橢圓，故④錯誤．
故答案為：①②

點評：本題以圓錐曲線的性質為載體，綜合考查了圓錐曲線的基本性質．熟練掌握圓錐曲線的性質是正確解題的基礎．