Question

已知雙曲線的中心在原點,右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上,點M(m,0)到直線AP的距離為1.
(1)若直線AP的斜率為k,且|k|∈［,］,求實數m的取值范圍;
(2)當m=+1時,△APQ的內心恰好是點M,求此雙曲線的方程.

Answer 1

1、m的取值范圍是［-1,1-］∪［1+,3］.
2、x²-(2-1)y²=1.

(1)由條件得直線AP的方程y=k(x-1),即kx-y-k=0,
因為點M到直線AP的距離為1,
∴=1,即|m-1|==.
∵|k|∈［,］,
∴≤|m-1|≤2.
解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-.
∴m的取值范圍是［-1,1-］∪［1+,3］.
(2)可設雙曲線方程為x²-=1(b≠0),
由M(+1,0),A(1,0)得|AM|=.
又因為M是△APQ的內心,M到AP的距離為1,
所以∠MAP=45°,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.
因此k_AP=1,k_AQ=-1(不妨設P在第一象限),直線PQ的方程為x=2+,
直線AP的方程為y=x-1.
∴解得P的坐標是(2+,1+).
將P點坐標代入x²-=1得b²=,
所以所求雙曲線方程為x²-y²=1,
即x²-(2-1)y²=1.