Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，圓，以動點為圓心的圓經過點，且圓與圓內切.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線過點，且與曲線交于兩點，則在軸上是否存在一點，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在軸上存在一點，使得軸平分.

【解析】試題分析：（1）根據兩圓內切得，再根據橢圓定義得動點的軌跡的方程；（2）軸平分，就是直線的斜率相反，設直線，根據斜率坐標公式得，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理代入化簡可得，即得

試題解析：解：（Ⅰ）圓的方程可化為： ，

故圓心，半徑，

而，所以點在圓內.

又由已知得圓的半徑，由圓與圓內切可得，圓內切于圓，即，

所以，

故點的軌跡，即曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓.

顯然，所以，

故曲線的方程為

（Ⅱ）設，當直線的斜率不為時，設直線，

代入得： ， 恒成立.

由根與系數的關系可得， ，

設直線的斜率分別為，則由得，

.

∴，將代入得，

因此，故存在滿足題意.

當直線的斜率為時，直線為軸，取，滿足，

綜上，在軸上存在一點，使得軸平分.