Question

已知向量m＝與n＝(3，sinA＋cosA)共線，其中A是△ABC的內角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC面積S的最大值，并判斷S取得最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

（1）（2），等邊三角形

(1)因為m∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因為A∈(0，π)，所以2A－∈.故2A－＝，A＝.
(2)由余弦定理，得4＝b²＋c²－bc.又S_△ABC＝bcsinA＝bc，
而b²＋c²≥2bc?bc＋4≥2bc?bc≤4(當且僅當b＝c時等號成立)，
所以S_△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.
當△ABC的面積取最大值時，b＝c.
又A＝，故此時△ABC為等邊三角形．