Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別A、B，橢圓過點（0，1）且離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C上異于A、B兩點的任意一點P作PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q，且PQ=PH，過點B作直線l⊥x軸，連結AQ并延長交直線l于點M，線段MB的中點記為點N．
①求點Q所在曲線的方程；
②試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系，并證明．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關系,橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由點（0，1）是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=

3

2

，可得b=1，

3

2

=

1- b2 a2

，解出即可．
（2））①設P（x₀，y₀），Q（x，y）．由HP=PQ，利用中點坐標公式可得

x=x0 y=2y0

，代入橢圓方程即可得出；
②又A（-2，0），可得直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

（x+2）．令x=2，得M的坐標，又B（2，0），N為MB的中點，可得N的坐標．計算

OQ

•

NQ

=0即可得出．

解答： 解：（1）由點（0，1）是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=

3

2

，
∴b=1，

3

2

=

1- b2 a2

，解得b=1，a²=4．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①設P（x₀，y₀），Q（x，y）．
∵HP=PQ，∴

x=x0 y=2y0

．
∴x₀=x，y₀=

1

2

y
∴

x2

4

+

y2

4

=1，即x²+y²=4．
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上．即Q點在以AB為直徑的圓O上．
②又A（-2，0），
∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

（x+2）．
令x=2，得M（2，

8y0

x0+2

）．
又B（2，0），N為MB的中點，
∴N（2，

4y0

x0+2

）．
∴

OQ

=（x₀，2y₀），

NQ

=（x₀-2，

2x0y0

x0+2

）），
∴

OQ

•

NQ

=x₀（x₀-2）+

4x0y02

x0+2

=x₀（x₀-2）+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．
∴直線QN與圓O相切．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、圓的方程、直線與圓的位置關系、中點坐標公式、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．