Question

（本題滿分12分）
甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，
答錯得零分.假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊的總得分.
（1）求的概率及的數學期望；
（2）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求.

Answer 1

（1）E=2；（2）P(AB) =

本題考查相互獨立重復事件的概率計算，離散變量的分步列、期望的計算，解題時要明確事件之間的關系并準確計算．
（Ⅰ）因為假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，結合獨立事件概率的乘法公式得到結論。
（Ⅱ）由題意，ξ可取的值為0、1、2、3，由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式計算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），進而可得ξ的分步列，進而由期望公式，計算可得答案．
解 （1）方法一 由題意知，的可能取值為0，1，2，3，且
P（=0）=,P(=1)=,
P(=2)=,P(=3)=.
所以的分布列為

	0	1	2	3
P

的數學期望為E=0×+1×+2×+3×=2.
方法二 根據題設可知, _~B,
故P(=1)=
因為_~B,所以E=3×=2.--------------------6分
(2)方法一 用C表示“甲隊得2分乙隊得1分”這一事件，用D表示“甲隊得3分乙隊得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C、D互斥，
P（C）=    P（D）=
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=.
方法二 用A_k表示“甲隊得k分”這一事件，用B_k表示“乙隊得k分”這一事件，k=0，1，2，3.由于事件A₃B₀，A₂B₁為互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B₀∪A₂B₁）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）.由題設可知，事件A₃與B₀獨立，事件A₂與B₁獨立，因此
P（AB）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B₀）+P（A₂）P（B₁）
=---------------------12分