Question

【題目】某公園為了美化環境和方便顧客，計劃建造一座圓弧形拱橋，已知該橋的剖面如圖所示，共包括圓弧形橋面和兩條長度相等的直線型路面、，橋面跨度的長不超過米，拱橋所在圓的半徑為米，圓心在水面上，且和所在直線與圓分別在連結點和處相切.設，已知直線型橋面每米修建費用是元，弧形橋面每米修建費用是元.

（1）若橋面（線段、和弧）的修建總費用為元，求關于的函數關系式；

（2）當為何值時，橋面修建總費用最低？

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）設為弧的中點，連結，，，通過解直角三角形以及弧長公式，求得的長，由此計算出修建總費用的表達式，根據長度的限制，和圓的直徑，求得的取值范圍.

（2）利用導數求得的單調區間，進而求得當為何值時，取得最小值.

（1）設為弧的中點，連結，，，則

在中，.

又因為，所以弧長為，

所以

當時，；當時，，所以

所以，.

（2）設，則，令得

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增；

所以當時，函數取得最小值，此時橋面修建總費用最低.