Question

【題目】已知為自然對數的底數, ).

(1)設為的導函數,證明:當時, 的最小值小于0;

(2)若恒成立,求符合條件的最小整數

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對函數進行求導，然后再對導函數進行求導，判斷導函數的單調性與單調區間，利用單調性確定到導函數的最小值；（2）先根據條件，確定問題即求函數的最小值大于0，然后對函數進行求導，利用函數的單調性及零點存在定理確定函數存在零點，并表示零點，然后通過不等式恒成立，確定關于的關系式，再對該關系式進行求導，利用導數判斷單調性，求得的取值范圍，最后得到其取到的最小整數.

試題解析：(1)令,則

因為,令,則.

所以當時, 單調遞減;

當時, 單調遞增.

則= = ==

令,

當時, 單調遞增;

當時, 單調遞減.

所以,所以成立.

(2) 恒成立,等價于恒成立.

令,

則因為,所以,所以單調遞增.

又,

所以存在,使得.

則時, 單調遞減;

時, 單調遞增.

所以恒成立. ①

且②

由①②得==恒成立.

又由②得,

所以

,

所以,

所以單調遞增, =,

=,

所以,所以符合條件的最小整數.