Question

【題目】如圖四棱錐E﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE為等邊三角形，△ABE是以∠A為直角的等腰直角三角形，且AC=BC．

（Ⅰ）證明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：設O為BE的中點，連接AO與CO，

則AO⊥BE，CO⊥BE．

設AC=BC=2，則AO=1， ，AO2+CO2=AC2，

∠AOC=90°，所以AO⊥CO，

故平面ABE⊥平面BCE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO兩兩互相垂直．OE的方向為x軸正方向，OE為單位長，

以O為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，

則A（0，0，1），E（1，0，0）， ，B（﹣1，0，0）， ，

所以 ， ， ，

， ，

設 =（x，y，z）是平面ADE的法向量，則 ，即 所以 ，

設 是平面DEC的法向量，則 ，同理可取 ，

則 = ，所以二面角A﹣DE﹣C的余弦值為

【解析】（Ⅰ）由題意作出輔助線，利用已知由勾股定理可求出∠AOC=90°即AO⊥CO，根據面面垂直的判定定理可得證。（Ⅱ）根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面ADE和平面DEC的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．