Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，，求證：．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2)證明見解析

【解析】

（1）由f（x）含有參數a，單調性和a的取值有關，通過分類討論說明導函數的正負，進而得到結論；

（2）法一：將已知變形，對a分類討論研究的正負，當與時，通過單調性可直接說明，當時，可得g（x）的最大值為,利用導數解得結論．

法二：分析時，且使得已知不成立；當時，利用分離變量法求解證明.

（1），

①當時，由得，得，所以在上單調遞增；

②當時，由得，解得，

所以在上單調遞增，在在上單調遞減；

（2）法一：由得（*），

設，則，

①當時，，所以在上單調遞增，

，可知且時，

，，可知（*）式不成立；

②當時，，所以在上單調遞減，

，可知（*）式成立；

③當時，由得，

所以在上單調遞增，可知在上單調遞減，

所以，由（*）式得，

設，則，所以在上單調遞減，而，h（1）=1-2=-1<0，

所以存在t，使得h（t）=0，由得；

綜上所述，可知．

法二：由得 （*），

①當時，得，且時，

，可知（*）式不成立；

②當時，由（*）式得，即，

設，則，

設，則，所以在上單調遞減，

又，，所以， （**），

當時， ，得，所以在上遞增，

同理可知在上遞減，所以，

結合（**）式得，所以，

綜上所述，可知．